1. Einleitung: Absolute Genauigkeit versus Reproduzierbarkeit
Um Grubengebäude auf Papier zu dokumentieren, müssen sie vermessen werden. Zwar kann man relativ leicht auch eine grobe Handskizze anlegen, da ein Bergwerk im Gegensatz zu einer Höhle ziemlich systematisch aufgebaut ist. Wenn die Dokumentation nicht nur zur eigenen Orientierung dient, sondern mit anderen Plänen in Deckung gebracht werden soll, ist die Reproduzierbarkeit der Messergebnisse entscheidend. Etwa bei der Frage, wo ein Gang eine Straße unterfährt. Oder, wie viel Meter Seil man für einen Schachtausbau benötigt. Messergebnisse sind also dann vertrauenswürdig, wenn sie mit gleichem Ergebnis wiederholbar sind. Wie gut sie wiederholbar sind, prüft man mithilfe des Vertrauensintervalls: Die Angabe 150 +/- 10 cm bedeutet, dass die Messwerte in 95 % der Fälle zwischen 140 und 160 cm liegen, wenn man die Messung sehr oft wiederholt. Anders ausgedrückt: 95 % der Werte weichen um bis zu 10 cm vom wahren Wert ab. 5% weichen um mehr als 10 cm ab. Wie beim Würfelspiel kann auch hier das Schicksal dafür sorgen, dass die erste Messung in die seltene fünf-Prozent-Wahrscheinlichkeit fällt und außergewöhnlich weit vom wahren Wert abweicht.
Daraus folgen zwei wichtige Erkenntnisse für die Praxis:
- Messungen müssen wiederholt bzw. durch Kontrollmessungen überprüft werden
- Messwerte können nicht genauer abgelesen werden, als die ermittelte Messunsicherheit (siehe 3.3.). Im obigen Beispiel ist die Angabe „159 cm" unsinnig, wenn die nächste Messung 141 cm ergeben kann.
Der Laie neigt aus Ehrgeiz oder Unkenntnis dazu, seine Messungen möglichst „genau" durchzuführen, das heißt mit einer möglichst großen Zahl von Nachkommastellen. Damit sinkt aber die Wahrscheinlichkeit, dass die Messung mit demselben Ergebnis wiederholbar ist.
Im Folgenden soll gezeigt werden, dass Genauigkeit eine Illusion ist, weil es erstaunliche Fehler gibt, die scheinbar exakte Messungen erheblich verfälschen. Es wird außerdem ein System aus der Höhlenforschung vorgestellt, mit dem man in der Praxis die Verlässlichkeit von Messungen einschätzen kann.
2. Messtechnik
Über- wie untertage geht man generell so vor, dass man ein System aus Messpunkten erstellt, das das zu vermessende Objekt in seinen wesentlichen Ausmaßen gut abbildet. Dann wird die Lage der Messpunkte zueinander in horizontaler und vertikaler Richtung bestimmt. Übertage hat man oft die Möglichkeit, von einem Standort mehrere Punkte zu vermessen und durch zahlreiche Vergleichsmessungen seine Daten zu validieren. Untertage geht das gewöhnlich nicht. Man arbeitet sich von einem Punkt zum nächsten und erhält so einen Messzug. Die Markierung kann über Stangen geschehen, die man von der Firste abhängt oder mittels Haltern auf die Sohle stellt, oder durch Markierungen am Stoß. Bei beengten Platzverhältnissen in Höhlen oder im Altbergbau hat es sich bewährt, zwischen den Markierungen eine Kette oder eine Schnur zu spannen und deren Länge, Neigungswinkel und Kompassrichtung (Azimut) zu messen. Dann spricht man von einem Kompasszug. Das klassische Freiberger Hängezeug besteht aus einem kardanisch aufgehängten Kompass und einem Gradbogen mit Lot, die man in die Schnur einhängen kann. Anstelle der Schnur kommen heute auch Laserpointer oder Laserentfernungsmesser zum Einsatz. Besonders platzsparend sind Kompanden mit eingebautem Neigungsmesser, die über eine Visiereinrichtung verfügen.
Durch den Einsatz von Software wie zum Beispiel CAVERENDER ist es sehr einfach, aus den Winkel- und Entfernungsangaben XYZ-Koordinaten zu errechnen und so die Lage eines Punktes im Raum zu definieren. Die zwischen den Punkten liegenden Strecken kann man sehr einfach in verschiedenen Maßstäben ausdrucken, drehen, perspektivisch oder räumlich darstellen und auf Karten projizieren oder in Google Earth verwenden.
Indem man an jedem Punkt zusätzlich die Entfernungen zu beiden Stößen, Sohle und Firste misst, kann man auch Streckenprofile erstellen.
Programme wie CAVERENDER können zwar theoretisch mit beliebiger Genauigkeit rechnen, beim Ausdruck oder Nachzeichnen der Daten sind jedoch durch den Maßstab Grenzen gesetzt. Beim Maßstab 1:1000 entspricht beispielsweise 1 Meter in der Natur 1 Millimeter auf der Karte. Objekte, die kleiner als 1 Meter sind, wären zeichnerisch kaum noch maßstäblich darstellbar. Etwa 250m Strecke passen auf ein DIN A4-Blatt. Im Maßstab 1:100 könnten bei einer Zeichengenauigkeit von 1 mm noch 10 cm große Objekte dargestellt werden. Für 250 m Strecke reicht dann aber auch das Format A0 (84,1 x 118,9 cm) nicht, sondern man benötigt eine Rolle von knapp 2,50 m Länge. In der Höhlenforschung hat sich daher für das klassische Planzeichnen der Maßstab 1:250 auf DIN A0 großen Bögen bewährt [1]. Wie wir noch sehen werden, macht keine Felderfassung Sinn, die die erreichbare Genauigkeit der Darstellung übertrifft.
In der Vermessungstechnik ist teilweise noch die Einheit gon (g) zur Angabe der Weite ebener Winkel gebräuchlich. Ein gon entspricht dem vierhundertsten Teil eines Vollkreises. Der Vorteil dieser Einheit besteht darin, dass jedem Quadranten des Vollkreises eine eigene Hunderterstelle zugeordnet werden kann: 90° = 100g , 180° = 200g und so fort [2].
3. Messfehler
„Wer misst, misst Mist" sagen Ingenieure und Naturwissenschaftler, und sie meinen damit, dass keine Messung ohne Fehler ist. Sie müssen die Grenzen kennen, innerhalb derer ihre Instrumente verlässliche Werte anzeigen. Und sie müssen die Einflüsse kennen, die auf die Messanordnung wirken. Dabei unterscheiden sie grobe, systematische und zufällige Fehler.
3.1. Grobe Fehler
Sie sind keine Eigenschaft der Messeinrichtung, sondern entstehen durch Bedienerfehler. Beispielsweise falsche Ablesung durch mangelnde Übung oder Konzentration, Übermittlungs- und Protokollfehler. Man kann sie verhindern, indem man das Wiederholen der Messwerte durch den Protokollanten ritualisiert. Der Ablesende bestätigt dann die Wiederholung. Gleichzeitig muss der Protokollant laufend die Plausibilität der von ihm notierten Werte prüfen. Auch die Ablenkung der Kompassnadel durch Eisenteile fällt in diese Kategorie. Dazu gehören auch Brillengestelle, Stahlkarabiner oder Geleuchte. Erfahrene Höhlenvermesser bauen daher sogar Eisenteile ihrer Karbidlampen auf Messing um. Von Kompassvermessungen übertage wird gänzlich abgeraten, da schon Eisennägel in Weidezaunpfählen zu erheblichen Fehlern führen [3].
3.2. Systematische Fehler
Diese wirken sich bei jeder Messung in dieselbe Richtung aus. Bei der üblichen Methode, Messzüge aneinander zu hängen, summieren sie sich deshalb. Kleine Fehler können dann zu großen Abweichungen führen. Da sie systematisch auftreten, sind sie allerdings leicht zu erkennen und zu korrigieren. Dazu überprüft man seine Messgeräte unter kontrollierten Bedingungen, etwa auf einem Teststand mit exakt eingemessenen Referenzpunkten. Systematische Abweichungen können so erkannt und aus den Messungen heraus gerechnet werden. Selbst fabrikneue Geräte können bereits solche Fehler aufweisen [4]. Während des Gebrauchs entstehen sie durch Alterung oder mechanische Beanspruchung. Schläge können etwa zum Verbiegen der Achsen führen. Nur durch regelmäßige Kontrollmessungen kann man sicher sein, dass das Gerät noch den Ansprüchen genügt. Eine geeignete Feldmethode zur Prüfung auf systematische Fehler ist die sofortige Rückmessung desselben Messzuges in entgegengesetzter Richtung. Auch diese Messung gehört ins Protokoll.
3.3. Zufällige Fehler
Führt man viele Wiederholungsmessungen mit hoher Auflösung durch, so schwanken die Ergebnisse statistisch um einen Mittelwert. Dieser wird in der Metrologie als Schätzwert bezeichnet und um die so genannte Messunsicherheit erweitert: Schätzwert +/- Messunsicherheit [5]. Tatsächlich kann also der absolute Wert einer Messgröße gar nicht angegeben werden, sondern er ist grundsätzlich mit einer gewissen Unsicherheit verbunden. Eine Einzelmessung ist daher tatsächlich eine Schätzung, die mit 95-prozentiger Wahrscheinlichkeit innerhalb der Grenzen der Messunsicherheit liegt. Im Eingangsbeispiel: 150 +/- 10 cm weichen 95 von 100 Schätzungen nicht mehr als 10 cm ab. Nach den Gesetzen der Statistik kann aber auch die erste Messung eine von jenen sein, die 20 cm daneben liegen.
Dies scheint völlig der Alltagserfahrung zu widersprechen, wonach man doch durch Messen erst Gewissheit über Zweifelsfälle erhält. Üblicherweise sind Messgeräte aber so skaliert, dass die Messungenauigkeit kleiner ist als die Ablesegenauigkeit und dadurch nicht ins Gewicht fällt. An einem Lineal mit Millimeterteilung kann man Längen auf 1 mm genau ablesen. Sofern die Messungenauigkeit kleiner als 1 mm ist, wird man bei Wiederholungsmessungen immer auf denselben Wert kommen. Schon die erste Messung „stimmt" also. Bei Zwischenwerten muss man allerdings auf ganze Millimeter auf- oder abrunden: es ergibt keinen Sinn, Werte zwischen den Skalenteilungen zu schätzen.
Im nächsten Abschnitt werden wir sehen, dass in der Realität insbesondere Längenmessungen oft nicht einmal im Rahmen der Ablesegenauigkeit reproduzierbar sind. Da man einmal zufällig zu lang, das andere Mal zufällig zu kurz misst, mitteln sich zufällige Fehler bei Kettenmessungen mit vielen kleinen Messzügen heraus. Auf das Gesamtergebnis haben sie nur einen geringen Einfluss.
3.4. Spezifische Fehler einiger Messgeräte
Diese Fehler können durch Vergleichsmessungen ermittelt und aus den Messergebnissen herausgerechnet werden.
3.4.1. Bandmaß
Das Bandmaß ist dafür bestimmt, auf einer ebenen Fläche ausgelegt zu werden. Auf der unebenen Stollensohle produziert es Fehler. Zwischen zwei Punkten aufgehängt, kommt es zum Durchhang. Wird es gespannt, kann Dehnung auftreten. Daher gibt es Messbänder mit Kraftmesser, auf die ein definierter Zug ausgeübt werden kann. Außerdem gibt es das Problem der Längendehnung aufgrund der Temperaturausdehnung des Materials. Ein 20-m-Bandmaß aus Stahl ist z.B. bei 10 °C 2,3mm kürzer als bei 20 °C [6].
3.4.2. Neigungsmesser an der Schnur
Der Fehler aufgrund des Schnurdurchhangs ist an den Aufhängepunkten der Schnur am größten. Daher muss der Neigungsmesser in der Mitte der Schnur eingehängt werden [7].
4. Wie viel Genauigkeit ist nötig?
Die „British Cave Research Association" hat den nach ihr benannten BCRA-Grad zur Beurteilung der Genauigkeit eines Höhlenplanes eingeführt [8]. Dieser ist auch auf den Altbergbau übertragbar; allerdings ist im Bergbau das Gangprofil nicht so vielfältig wie in Höhlen, so dass dieser Punkt geringere Bedeutung hat. Im BCRA-Raster ist die Güte der Vermessung siebenfach abgestuft (fünf Haupt- und zwei Zwischenstufen). Vier Stufen beschreiben zusätzlich die Aufnahme der Profile. Beide Komponenten sollten aufeinander abgestimmt sein, wie in der folgenden Tabelle dargestellt:
Lage und Verlauf der Strecken [9] |
Aufnahme der Raumdaten |
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Grad 1 |
Eine Skizze, die ohne jegliche Vermessung erstellt wird. |
Stufe A |
Die Raumbegrenzungen werden nach dem Gedächtnis skizziert. |
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Stufe B |
Die Raumbegrenzungen werden vor Ort nach Anschauung skizziert. |
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Grad 2 |
(Nur falls erforderlich, s.u.). Eine Skizze, die ohne Kompass und Neigungsmesser, jedoch mit ungefährer Messung der Längenstreckung erstellt wird. |
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Grad 3 |
Eine grobe Kompassvermessung, Horizontal- und Vertikalwinkel werden auf 2,5° genau vermessen. Fehler bezüglich der Lage eines Messpunktes sind geringer als 50cm. |
Stufe C |
Die Raumbegrenzungen werden bei den Messpunkten eingemessen, dazwischenliegende Partien skizziert. |
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Grad 4 |
(Nur falls erforderlich, s.u.). Wird verwendet, wenn wie Grad 5 vermessen wird, jedoch in einem Teilbereich aufgrund ungünstiger Bedingungen nicht alle Kriterien von Grad 5 erfüllt werden können. |
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Grad 5 |
Eine Kompassvermessung, Horizontal- und Vertikalwinkel werden auf +/- 1° genau, Entfernungen auf +/- 10cm genau vermessen. Fehler bezüglich der Lage eines Messpunktes sind geringer als 10cm. |
Stufe D |
Die Raumbegrenzungen werden bei den Messpunkten und an allen weiteren Stellen mit wichtigen Details des Wandverlaufs eingemessen |
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Grad 6 |
Eine Kompassvermessung mit maximaler Genauigkeit. Horizontal- und Vertikalwinkel werden auf +/- 0,5° genau, Entfernungen auf +/- 2,5cm genau gemessen. Fehler bezüglich der Lage eines Messpunktes sind geringer als 2,5cm. |
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Grad X |
Eine Vermessung unter Verwendung eines Theodoliten anstelle eines Kompasses, die mit Grad 4, 5 oder 6 vergleichbar ist. |
Anmerkungen
- Die Tabelle ist eine Zusammenfassung der BCRA-Richtlinien. Die genauen Ausführungen finden sich in Ellis B.M. (Surveying Caves, British Cave Research Association, Bridgewater 1976). Die Definitionen sollten nicht generell wortwörtlich, sondern sinngemäß im Zusammenhang mit diesen Anmerkungen aufgefasst werden. Die Tabelle darf daher ohne diese Anmerkungen nicht abgedruckt werden.
- Der Begriff "Genauigkeit" bezieht sich auf jeden Messpunkt, auf den Absolutwert der Natur, nicht auf die Genauigkeit der Daten zueinander.
- Für Grad 5 oder 6 ist es nötig, speziell für die Vermessungstechnik konstruierte und kalibrierte Geräte zu verwenden. Wanderkompass, Handwerker-Neigungsmesser usw. sind unzureichend.
- Für Grad 6 muss der Neigungsmesser dieselbe Genauigkeit wie der Kompass aufweisen (z.B. 0,5°) und es sind feste Messpunkte erforderlich (Stative, eingedübelte Marken oder dergleichen).
- Grad 2 und 4 finden nur Anwendung, wenn die Gegebenheiten untertage teilweise nicht das Erreichen des höheren Grades zulassen.
- Grad X ist nur theoretisch genauer als Grad 6, weil ein Theodolit oder eine Totalstation auch vom Anwender beherrscht werden muss.
5. Schlussfolgerungen für die Vermessungspraxis
Die verwendete Ausrüstung und die Planung der Messkampagne hängt vom angestrebten Ergebnis ab. Auch mit einfacher Ausrüstung sind relativ zuverlässige Ergebnisse möglich. Eine Messunsicherheit von 0,5 m scheint in den meisten Fällen völlig akzeptabel zu sein (BCRA-Grad 3C). Da es sich um zufällige Fehler handelt, summieren sie sich nicht. Der Fehler ist für jeden Messpunkt gleich. Systematische Fehler spielen keine große Rolle.
Anforderungen an eine Vermessung im Rang von Grad 3C
- Die Verwendung von Wanderkompass und Baumarkt-Neigungsmesser ist möglich
- Winkel können auf 2,5° gerundet werden; in der Praxis werden jedoch ganze Gradzahlen abgelesen
- Längen können auf halbe Meter gerundet werden
- Keine Messzüge über 26m, da der Winkelfehler sonst größer als 0,5 m wird.
- Jeder Messpunkt ist auf 0,5m reproduzierbar
- An den Messpunkten werden auch die Raumbegrenzungen eingemessen und gegebenenfalls das Profil skizziert
- Details zwischen den Messpunkten werden ebenfalls ungefähr lagerichtig skizziert, aber nicht eingemessen
Der Qualitätssprung auf den Grad 5 scheint keinen wesentlichen Vorteil zu bieten, erfordert aber wesentlich höheren Aufwand in Bezug auf die Messtechnik und den geordneten Ablauf der Vermessung. Zudem sind etwa dreimal so viele Messpunkte erforderlich. Messgeräte müssen auch kalibriert sein, um systematische Fehler auszuschließen. Die Angabe von Längenmaßen im Zentimeterbereich ergibt auch hier keine Verbesserung der Genauigkeit. Im Gegenteil zeigt die Erfahrung, dass insbesondere beim Erfassen der Raumabmessungen mitunter grob geschätzt wird, weil überhaupt keine exakte Messung möglich ist. Zusätzlich muss aber auch der Umfang der Dokumentation mit den Ansprüchen an die Genauigkeit korrespondieren.
Anforderungen an eine Vermessung im Rang von Grad 5D
- Überprüftes Hängezeug oder gleichwertiges Gerät erforderlich
- Winkel werden auf 1° abgelesen
- Längen können auf Dezimeter gerundet werden
- Jeder Messpunkt ist auf 10 cm reproduzierbar
- Keine Messzüge über 5,7m, da der Winkelfehler sonst größer als 10 cm wird.
- An den Messpunkten werden auch die Raumbegrenzungen eingemessen und gegebenenfalls das Profil skizziert
- Details zwischen den Messpunkten werden ebenfalls eingemessen und skizziert
Generelle Anforderungen an die Durchführung einer Vermessung
- Messpunkte ab Mundloch oder Referenzpunkt fortlaufend eindeutig nummerieren und markieren (Kreide, Farbe, Dübel je nach Anforderung)
- Nicht zu große Abstände wählen (Winkelfehler macht sich bemerkbar, siehe oben)
- Messzüge so legen, dass sie sich zu einem Ring schließen, dadurch Fehlerrechnung möglich
- Zur Kontrolle grundsätzlich Rückmessung zum letzten Punkt durchführen
- Protokollführung: angesagtes Messergebnis wiederholen und bestätigen lassen
- Messprotokoll vorbereiten, das auch Raum für Skizzen lässt (Millimeterpapier)
- Messgeräte übertage testen und deren Bedienung einüben
6. Danksagung
Herzlichen Dank an Sven Grauel, Sven Schreiter, Christian Berger und das Forum der GAG für die zahlreichen Anregungen zu diesem Text sowie an Michael Krumrei für die kritische Durchsicht des Manuskripts.
Coppengrave, im Juli 2013
Martin Gorissen
[1] http://www.caverender.de/vermess/vermess.htm
[2] http://de.wikipedia.org/wiki/Gon
[3] http://www.sghbern.ch/page/hrh/vermeid.html#Allgemeine
[4] http://www.sghbern.ch/page/hrh/vermeid.html#Allgemeine
[5] http://de.wikipedia.org/wiki/Messunsicherheit
[6] http://public.beuth-hochschule.de/~korth/vorl_vk1_BA_Verm.pdf
[7] Leupolt, Hocker: Befahrerhandbuch, S. 75
[8] http://bcra.org.uk/surveying/index.html
[9] Gut Schluf, Heft 25, Mitteilungsblatt des DAV Bamberg, nach www.caverender.de mit eigenen Ergänzungen